3.499 \(\int (b \sec (e+f x))^n \sin ^2(e+f x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=73 \[ -\frac{b \sin (e+f x) (b \sec (e+f x))^{n-1} \, _2F_1\left (-\frac{1}{2},\frac{1-n}{2};\frac{3-n}{2};\cos ^2(e+f x)\right )}{f (1-n) \sqrt{\sin ^2(e+f x)}} \]

[Out]

-((b*Hypergeometric2F1[-1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*
(1 - n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.081193, antiderivative size = 73, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 2, integrand size = 19, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.105, Rules used = {2632, 2576} \[ -\frac{b \sin (e+f x) (b \sec (e+f x))^{n-1} \, _2F_1\left (-\frac{1}{2},\frac{1-n}{2};\frac{3-n}{2};\cos ^2(e+f x)\right )}{f (1-n) \sqrt{\sin ^2(e+f x)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(b*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x]^2,x]

[Out]

-((b*Hypergeometric2F1[-1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, Cos[e + f*x]^2]*(b*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sin[e + f*x])/(f*
(1 - n)*Sqrt[Sin[e + f*x]^2]))

Rule 2632

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[(a^2*(a*Sec[e
+ f*x])^(m - 1)*(b*Csc[e + f*x])^(n + 1)*(a*Cos[e + f*x])^(m - 1)*(b*Sin[e + f*x])^(n + 1))/b^2, Int[1/((a*Co
s[e + f*x])^m*(b*Sin[e + f*x])^n), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m, n}, x]

Rule 2576

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Simp[(b^(2*IntPar
t[(n - 1)/2] + 1)*(b*Sin[e + f*x])^(2*FracPart[(n - 1)/2])*(a*Cos[e + f*x])^(m + 1)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/
2, (1 - n)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2])/(a*f*(m + 1)*(Sin[e + f*x]^2)^FracPart[(n - 1)/2]), x] /; FreeQ[{a,
b, e, f, m, n}, x] && SimplerQ[n, m]

Rubi steps

\begin{align*} \int (b \sec (e+f x))^n \sin ^2(e+f x) \, dx &=\left (b^2 (b \cos (e+f x))^{-1+n} (b \sec (e+f x))^{-1+n}\right ) \int (b \cos (e+f x))^{-n} \sin ^2(e+f x) \, dx\\ &=-\frac{b \, _2F_1\left (-\frac{1}{2},\frac{1-n}{2};\frac{3-n}{2};\cos ^2(e+f x)\right ) (b \sec (e+f x))^{-1+n} \sin (e+f x)}{f (1-n) \sqrt{\sin ^2(e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 18.7373, size = 4143, normalized size = 56.75 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(b*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x]^2,x]

[Out]

(24*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-3 + n)*(b*Sec[e + f*x])^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Sin[e + f*x]^2*Tan[(e
+ f*x)/2]*((AppellF1[1/2, n, 2 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2)/(3*Appe
llF1[1/2, n, 2 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-2 + n)*AppellF1[3/2, n, 3 - n, 5/2, T
an[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + n*AppellF1[3/2, 1 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x
)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - AppellF1[1/2, n, 3 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]/(3*Appell
F1[1/2, n, 3 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-3 + n)*AppellF1[3/2, n, 4 - n, 5/2, Tan
[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + n*AppellF1[3/2, 1 + n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/
2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)))/(f*(12*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-2 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*((Appell
F1[1/2, n, 2 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2)/(3*AppellF1[1/2, n, 2 - n,
3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-2 + n)*AppellF1[3/2, n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
-Tan[(e + f*x)/2]^2] + n*AppellF1[3/2, 1 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f
*x)/2]^2) - AppellF1[1/2, n, 3 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]/(3*AppellF1[1/2, n, 3 - n, 3
/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-3 + n)*AppellF1[3/2, n, 4 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -T
an[(e + f*x)/2]^2] + n*AppellF1[3/2, 1 + n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x
)/2]^2)) + 24*(-3 + n)*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-3 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Tan[(e + f*x)/2]^2*((
AppellF1[1/2, n, 2 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2)/(3*AppellF1[1/2, n,
2 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-2 + n)*AppellF1[3/2, n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/
2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + n*AppellF1[3/2, 1 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[
(e + f*x)/2]^2) - AppellF1[1/2, n, 3 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]/(3*AppellF1[1/2, n, 3
- n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-3 + n)*AppellF1[3/2, n, 4 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]
^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + n*AppellF1[3/2, 1 + n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e
+ f*x)/2]^2)) + 24*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-3 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Tan[(e + f*x)/2]*((Appel
lF1[1/2, n, 2 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/(3*Appel
lF1[1/2, n, 2 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-2 + n)*AppellF1[3/2, n, 3 - n, 5/2, Ta
n[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + n*AppellF1[3/2, 1 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)
/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (Sec[(e + f*x)/2]^2*(-((2 - n)*AppellF1[3/2, n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
-Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 + (n*AppellF1[3/2, 1 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x
)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3))/(3*AppellF1[1/2, n, 2 - n, 3/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-2 + n)*AppellF1[3/2, n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)
/2]^2] + n*AppellF1[3/2, 1 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (-
((3 - n)*AppellF1[3/2, n, 4 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x
)/2])/3 + (n*AppellF1[3/2, 1 + n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[
(e + f*x)/2])/3)/(3*AppellF1[1/2, n, 3 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-3 + n)*Appell
F1[3/2, n, 4 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + n*AppellF1[3/2, 1 + n, 3 - n, 5/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (AppellF1[1/2, n, 2 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[
(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*(2*((-2 + n)*AppellF1[3/2, n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x
)/2]^2] + n*AppellF1[3/2, 1 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[
(e + f*x)/2] + 3*(-((2 - n)*AppellF1[3/2, n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x
)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 + (n*AppellF1[3/2, 1 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[
(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3) + 2*Tan[(e + f*x)/2]^2*((-2 + n)*((-3*(3 - n)*AppellF1[5/2, n, 4 - n, 7/2,
Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*n*AppellF1[5/2, 1 + n, 3
- n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5) + n*((-3*(2 - n)*A
ppellF1[5/2, 1 + n, 3 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/
5 + (3*(1 + n)*AppellF1[5/2, 2 + n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Ta
n[(e + f*x)/2])/5))))/(3*AppellF1[1/2, n, 2 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-2 + n)*A
ppellF1[3/2, n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + n*AppellF1[3/2, 1 + n, 2 - n, 5/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2 + (AppellF1[1/2, n, 3 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2
, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(2*((-3 + n)*AppellF1[3/2, n, 4 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + n*
AppellF1[3/2, 1 + n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2]
+ 3*(-((3 - n)*AppellF1[3/2, n, 4 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(
e + f*x)/2])/3 + (n*AppellF1[3/2, 1 + n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]
^2*Tan[(e + f*x)/2])/3) + 2*Tan[(e + f*x)/2]^2*((-3 + n)*((-3*(4 - n)*AppellF1[5/2, n, 5 - n, 7/2, Tan[(e + f*
x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*n*AppellF1[5/2, 1 + n, 4 - n, 7/2, T
an[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5) + n*((-3*(3 - n)*AppellF1[5/2,
1 + n, 4 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(1 +
n)*AppellF1[5/2, 2 + n, 3 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/
2])/5))))/(3*AppellF1[1/2, n, 3 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-3 + n)*AppellF1[3/2,
n, 4 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + n*AppellF1[3/2, 1 + n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]
^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2) + 24*n*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-3 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[
e + f*x])^(-1 + n)*Tan[(e + f*x)/2]*((AppellF1[1/2, n, 2 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Se
c[(e + f*x)/2]^2)/(3*AppellF1[1/2, n, 2 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-2 + n)*Appel
lF1[3/2, n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + n*AppellF1[3/2, 1 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - AppellF1[1/2, n, 3 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[
(e + f*x)/2]^2]/(3*AppellF1[1/2, n, 3 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-3 + n)*AppellF
1[3/2, n, 4 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + n*AppellF1[3/2, 1 + n, 3 - n, 5/2, Tan[(e + f
*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2))*(-(Cos[(e + f*x)/2]*Sec[e + f*x]*Sin[(e + f*x)/2]) + Cos[
(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x])))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.917, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ( b\sec \left ( fx+e \right ) \right ) ^{n} \left ( \sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((b*sec(f*x+e))^n*sin(f*x+e)^2,x)

[Out]

int((b*sec(f*x+e))^n*sin(f*x+e)^2,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (b \sec \left (f x + e\right )\right )^{n} \sin \left (f x + e\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*sec(f*x+e))^n*sin(f*x+e)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sec(f*x + e))^n*sin(f*x + e)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (-{\left (\cos \left (f x + e\right )^{2} - 1\right )} \left (b \sec \left (f x + e\right )\right )^{n}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*sec(f*x+e))^n*sin(f*x+e)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(-(cos(f*x + e)^2 - 1)*(b*sec(f*x + e))^n, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (b \sec{\left (e + f x \right )}\right )^{n} \sin ^{2}{\left (e + f x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*sec(f*x+e))**n*sin(f*x+e)**2,x)

[Out]

Integral((b*sec(e + f*x))**n*sin(e + f*x)**2, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (b \sec \left (f x + e\right )\right )^{n} \sin \left (f x + e\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*sec(f*x+e))^n*sin(f*x+e)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sec(f*x + e))^n*sin(f*x + e)^2, x)